Question

如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．
（1）点P的坐标是（

 

，

 

）；
（2）点Q的坐标是（

 

，

 

）；
（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据P的行走路程可以计算P的坐标；
（2）根据勾股定理分别求Q的横坐标和纵坐标；
（3）根据勾股定理计算AP、AQ的长度，当AP=AQ时，可得△APQ是以AP为腰的等腰三角形．

解答：解：（1）x秒点P行走的距离为x，则OP=5-x，
故点P的坐标是（5-x，0）；

（2）作AD⊥OB，QE⊥OB，则△BAD∽△BQE，

即

BE

BD

=

BQ

BA

，

QE

AD

=

QB

AB

，
∵AD=4，OD=2，OB=5，
∴BD=3，
∴AB=5，
在x秒Q点行走距离为x，则AQ=x，BQ=5-x，
∴

BE

3

=

5-x

5

，

QE

4

=

5-x

5

，
∴BE=3-

3

5

x，QE=4-

4

5

x，
∴OE=OB-BE=5-（3-

3

5

x）=2+

3x

5

，
则点Q的坐标是（2+

3x

5

，4-

4x

5

）；

（3）由题意，AP²=（5-x-2）²+4²=x²-6x+25，
AQ²=(2-2-

3x

5

)2+(4-4+

4x

5

)2=x²，
PQ²=(5-x-2-

3x

5

)2+(0-4+

4x

5

)2
=

16x2

5

-16x+25．
若AP=AQ，则x=

25

6

；
若AP=PQ，则x₁=

50

11

，x₂=0（舍去）
故x=

25

6

或

50

11

秒时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．
故答案为（1）点P的坐标是（5-x，0）；（2）点Q的坐标是（2+

3x

5

，4-

4x

5

）；（3）x=

25

6

或

50

11

秒时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形．

点评：本题考查了平面直角坐标系中坐标的计算，考查了勾股定理在平面直角坐标系中的运用，本题中根据AP和AQ的表达式和AP=AQ计算x的值是解题的关键．