Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若

a

c

+

b

c

=-1，则方程ax²+bx+c=0一定有一根是x=1；
②若c=a³，b=2a²，则方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根；
③若a＜0，b＜0，c＞0，则方程cx²+bx+a=0必有实数根；
④若ab-bc=0，且

a

c

＜-1，则方程cx²+bx+a=0的两实数一定互为相反数．其中正确的结论是（　　）

• A、①②③④
• B、①②④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

分析：①本题根据一元二次方程的根的定义即可判断；
②只要证明△=0即可．
③只要验证△的值大于或等于0，就可以；
④两实数一定互为相反数，即两根的和是0，依据一元二次方程根与系数的关系即可作出判断．

解答：解：①若

a

c

+

b

c

=-1，两边同时乘以c得到a+b+c=0，在ax²+bx+c=0中令x=1，就得到a+b+c=0，即x=1能使方程的左右两边相等，因而x=1是方程的解；
②若c=a³，b=2a²，则方程根的判别式△=b²-4ac=4a⁴-4ac=4a⁴-4a⁴=0，∴方程两个相等的实数根．
③方程根的判别式△=b²-4ac，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴△=b²-4ac＞0一定成立，因而方程cx²+bx+a=0必有实数根．
④ab-bc=0即b（a-c）=0，又∵

a

c

＜-1，则a-c≠0，∴b=0，根据韦达定理：两根的和是-

b

a

=0即两实数一定互为相反数．
所以正确的答案为①②③④．
故本题选A．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根的判别式，以及韦达定理的内容．