如图.已知抛物线y=px2-1与两坐标轴分别交于点A.B.C.点D坐标为.△ABD为直角三角形.l为过点D且平行于x轴的一条直线．(1)求p的值,(2)若Q为抛物线上一动点.试判断以Q为圆心.QO为半径的圆与直线l的位置关系.并说明理由,(3)是否存在过点D的直线.使该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项?如果存在.请求出直线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2006•连云港）如图，已知抛物线y=px²-1与两坐标轴分别交于点A、B、C，点D坐标为（0，-2），△ABD为直角三角形，l为过点D且平行于x轴的一条直线．
（1）求p的值；
（2）若Q为抛物线上一动点，试判断以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l的位置关系，并说明理由；
（3）是否存在过点D的直线，使该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间得两条线段的比例中项？如果存在，请求出直线解析式；如果不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）根据△ABD为等腰直角三角形，点D坐标为（O，-2），可求点B的坐标为（2，O）．将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，得p=

．
（2）设点Q的坐标为（a，b），则有a²=4b+4．过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H．DQ=b+2．又点Q到直线l的距离QG=b+2．QG=DQ．⊙Q与直线l相切．
（3）先假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．设直线解析式为：y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'，因为MM'∥NN'，可知MN²=DM．DN，即（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0．根据交点的意义可得x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的两个根，
由根与系数的关系，得16k²-20=o，解得k=±

，当k=±

时，有△＞0，所以，满足条件的解析式为y=

-2和y=-

-2．
解答：

解：（1）由题意知，△ABD为等腰直角三角形，
又∵点D坐标为（O，-2）
∴OD=2，
∴OA=OB=OD=2．
∴点B的坐标为（2，O）．（2分）
将点B的坐标（2，0）代入抛物线解析式，
得p=

．（3分）

（2）以Q为圆心，QO为半径的圆与直线l相切．（4分）
设点Q的坐标为（a，b），则有a²=4b+4．
过Q作QG⊥l，垂足为G，交x轴于H（如图1）．
∴DQ=b+2．
又∵点Q到直线l的距离OQ=b+2=QG．
∴QG=DQ．
故⊙Q与直线l相切．

（3）假设存在这样的直线，该直线被抛物线所截得的线段是点D到直线与抛物线两交点间的两条线段的比例中项．
设直线解析式为）y=kx-2，与抛物线两交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（x₁＜x₂）．
解法一分别过M，N作MM’⊥l，NN’⊥l，垂足为M'，N'（如图2）
∴MM'∥NN'，
∴

∵MN²=DM．DN，

∴（x₂+x₁）²-5x₁x₂=0，（9分）
∵点M在直线y=kx-2上，
∴y₁=kx₁-2，
∵点M又在抛物线y=

x²-1上，
∴y₁=

x₁²-1
∴kx₁-2=

x₁²-1，
即x₁²-4kx₁+4=0，
同理，有x₂²-4kx₂+4=0
∴x₁，x₂是方程x²-4kx+4=O的两个根，
由根与系数的关系，得16k²-20=o，
解得k=±

当k=±

时，有△＞0，
所以，满足条件的解析式为y=

-2和y=-

-2．
点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式，交点的意义和二次函数和一元二次方程的关系等．要熟练掌握才能灵活运用．

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