分析 (1)根据三角形的全等可得出线段BE、EF、FD之间的数量关系;
(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
(3)旋转ABM至△ADP位置,证明△PAN≌△MAN,得到MN=NP,即可解答.
解答 解:(1)EF=BE+DF;
(2)结论EF=BE+DF仍然成立;
理由:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,如图2,
在△ABE和△ADG中,
$\left\{\begin{array}{l}{DG=BE}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF.
(3)∵四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
如图3,旋转ABM至△ADP位置,
∴∠PAM=∠DAM+∠MAB=90°AP=AM,AN=AN,∠PAN=∠PAM-∠MAN=90°-45°=45°=∠MAN,
在△PAN和△MAN中,
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AP}\\{∠PAN=∠MAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$,
∴△PAN≌△MAN,
∴MN=NP,
∴MN=PN=PD+DN=BM+DN=3+2=5.
点评 本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解题的关键.
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A. | 2个 | B. | 3个 | C. | 4个 | D. | 5个 |
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A. | $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a | B. | $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a | C. | ($\sqrt{5}$-1)a | D. | ($\sqrt{5}$+1)a |
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