Question

3．如图，在平面直角坐标系中，有一个直角△ABC，且A（-1，3），B（-3，-1），C（-3，3），已知△A₁A₁C是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90度；
（2）求线段AB所在直线AB的解析式；
（3）点Q在x轴上，点P在直线AB上，要使以Q、P、A₁、C₁为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，一对对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角．
（2）先根据A、B两点在坐标系内的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可；
（3）要使以Q、P、A₁、C₁为顶点的四边形是平行四边形，则PQ=A₁ C₁=2，在直线AB上到x轴的距离等于2 的点，就是P点，因此令y=2或-2求得x的值即可．

解答 解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90度；
故答案为：（0，0），90；

（2）∵由图可知A（-1，3），B（-3，-1），
∴设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=3}\\{-3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=2x+5；

（3）∵点Q在x轴上，点P在直线AB上，以Q、P、A₁、C₁为顶点的四边形是平行四边形，
当A₁C₁为平行四边形的边时，
∴PQ=A₁C₁=2，
∵P点在直线y=2x+5上，
∴令y=2时，2x+5=2，解得x=-$\frac{3}{2}$，
令y=-2时，2x+5=-2，解得x=-$\frac{7}{2}$，
当A₁C₁为平行四边形的对角线时，
∵A₁C₁的中点坐标为（3，2），
∴P的纵坐标为4，
代入y=2x+5得，4=2x+5，
解得x=-$\frac{1}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，4），
故P为（-$\frac{3}{2}$，2）或（-$\frac{7}{2}$，-2）或（-$\frac{1}{2}$，4）．

点评 本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的旋转中心与旋转角的确定，利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．