Question

【题目】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；
（2）若反比例函数 （x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数 （x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线DE的解析式为y=kx+b，
∵点D，E的坐标为（0，3）、（6，0），
∴ ，
解得k=- ，b=3；
∴ ；
∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，
∴点M的纵坐标为2；
又∵点M在直线 上，
∴ ；
∴x=2；
∴M（2，2）
（2）解：∵ （x＞0）经过点M（2，2），
∴m=4；
∴ ；
又∵点N在BC边上，B（4，2），
∴点N的横坐标为4；
∵点N在直线 上，
∴y=1；
∴N（4，1）；
∵当x=4时，y= =1，
∴点N在函数 的图象上
（3）解：当反比例函数 （x＞0）的图象通过点M（2，2），N（4，1）时m的值最小，当反比例函数 （x＞0）的图象通过点B（4，2）时m的值最大，
∴2= ，有m的值最小为4，
2= ，有m的值最大为8
∴4≤m≤8
【解析】（1）把点D，E的坐标代入解析式，利用待定系数法，求出DE的解析式，进而利用M在AB边上，纵坐标已知，代入解析式，求出横坐标；（2）把N点的横坐标代入解析式求出y值，与其纵坐标比较，等于其横坐标，可以判定N在双曲线上；（3）可以算出△MNB边上的点B、点N的横纵坐标之积最大与最小，可得出m的范围4≤m≤8.