Question

【题目】已知在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=2AO；(1)如图1,求∠BAC的度数；(2)如图2,P为菱形ABCD外一点,连接AP、BP、CP,若∠CPB=120°,求证:CP+BP=AP；(3)如图3,M为菱形ABCD外一点,连接AM、CM、DM,若∠AMD=150°,

CM=2，DM=2，求四边形ACDM的面积。

Answer 1

【答案】（1）∠BAC=60°；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）如图1中，证明△ABC是等边三角形即可解决问题．

（2）在PA上截取PH，使得PH=PC，连接CH．证明△PCB≌△HCA（SAS）即可；

（3）如图3中，作AH⊥DM交DM的延长线于H，延长AC到N，使得CN=AC，连接DN．证明A，N，D，M四点共圆，外接圆的圆心是点C，推出AD=CM= ，解直角三角形求出AH即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，∠ABD=∠CBD，

∴∠AOB=90°，

∵AB=2OA，

∴∠ABO=30°，

∴∠ABC=60°，

∵BA=BC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°；

（2）证明：如图2中，

在PA上截取PH，使得PH=PC，连接CH．

∵∠BPC=120°，∠BAC=60°，

∴∠BPC+∠BAC=180°，

∴A，B，P，C四点共圆，

∴∠APC=∠ABC=60°，

∵PH=PC，

∴△PCH是等边三角形，

∴PC=CH，∠PCH=∠ACB=60°，

∴∠PCB=∠HCA，

∵CB=CA，CP=CH，

∴△PCB≌△HCA（SAS），

∴PB=AH，

∴PA=PH+AH=PC+PB；

（3）解：如图3中，作AH⊥DM交DM的延长线于H，延长AC到N，使得CN=AC，连接DN．

∵CA=CD=CN，

∴∠ADN=90°，

∵CD=CN，

∴∠N=∠CDN，

∵∠ACD=60°=∠N+∠CDN，

∴∠N=30°，

∵∠AMD=150°，

∴∠N+∠AMD=180°，

∴A，N，D，M四点共圆，外接圆的圆心是点C，

∴CA=CD=AD=CM=，

在Rt△AHM中，∵∠AMH=30°，

∴MH=AH，设AH=x，则HM=x，

在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，

∴28=x2+（x+2）2，

解得x=或-2（舍弃），

∴AH=，

∴S四边形ACDM=S△ACD+S△ADM=×+×2×=．