分析 (1)由于△ABC和△CDE都是直角三角形,故AC,CE可由勾股定理求得;
(2)若点C不在AE的连线上,根据三角形中任意两边之和>第三边知,AC+CE>AE,故当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;
(3)由(1)(2)的结果可作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,连接AE交BD于点C,则AE的长即为代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$$+\sqrt{(x-12)^{2}+9}$的最小值,然后构造矩形AFDB,Rt△AFE,利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值.
解答 解:(1)AC+CE=$\sqrt{(8-x)^{2}+25}$+$\sqrt{{x}^{2}+1}$;
(2)当A、C、E三点共线时,AC+CE的值最小;
(3)如右图所示,作BD=12,过点B作AB⊥BD,过点D作ED⊥BD,使AB=2,ED=3,
连接AE交BD于点C,设BC=x,则AE的长即为代数$\sqrt{{x}^{2}+4}$$+\sqrt{(x-12)^{2}+9}$的最小值.
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F,得矩形ABDF,
则AB=DF=2,AF=BD=12,EF=ED+DF=3+2=5,
所以AE=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{5}^{2}}$=13,
即$\sqrt{{x}^{2}+4}$$+\sqrt{(x-12)^{2}+9}$的最小值为13.
故代数式$\sqrt{{x}^{2}+4}$$+\sqrt{(x-12)^{2}+9}$的最小值为13.
点评 此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识,本题利用了数形结合的思想,求形如$\sqrt{{x}^{2}+4}$$+\sqrt{(x-12)^{2}+9}$式子的最小值,可通过构造直角三角形,利用勾股定理求解.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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