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如图1,正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE(AB<AE)在一条直线上,正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转,设旋转角为α.在旋转过程中,两个正方形只有点A重合,其它顶点均不重合,连接BE、DG.

(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时,求证:BE=DG;

(2)当点C在直线BE上时,连接FC,直接写出∠FCD的度数;

(3)如图3,如果α=45°,AB=2,AE=,求点G到BE的距离.


              (1)证明:如图2,

∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=AD,∠BAE+∠EAD=90°,

又∵四边形AEFG是正方形,

∴AE=AG,∠EAD+∠DAG=90°,

∴∠BAE=∠DAG.

∴在△ABE与△ADG中,

∴△ABE≌△ADG(SAS),

∴BE=DG;

(2)解:①如图3,连接AC,AF,CF,

∵四边形ABCD与AEFG是正方形,

∴∠ACD=∠AFE=45°,

∵∠DCE=90°

∴点A,C,E,F四点共圆,

∵∠AEF是直角,

∴AF是直径,

∴∠ACF=90°,

∵∠ACD=45°,

∴∠FCD=45°

②如图4,连接AC,AF,FG,CG

由(1)知∵△ABE≌△ADG,

∴∠ABE=∠ADG=90°,

∴DG和CG在同一条直线上,

∴∠AGD=∠AGC=∠BAG,

∵四边形ABCD与AEFG是正方形,

∴∠BAC=∠BAE=45°,

∴∠BAG+∠GAC=45°,∠BAG+∠BAF=45°,

∴∠AGD+∠GAC=45°,

∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°,

∴点A,C,G,F四点共圆,

∵∠AGF是直角,

∴AF是直径,

∴∠ACF=90°,

∴∠FCD=90°+45°=135°.

(3)解:如图5,连接GB、GE,

由已知α=45°,可知∠BAE=45°.

又∵GE为正方形AEFG的对角线,

∴∠AEG=45°.

∴AB∥GE.

,AB与GE间的距离相等,

∴GE=8,

过点B作BH⊥AE于点H,

∵AB=2,

设点G到BE的距离为h.

即点G到BE的距离为

 

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