Question

如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；

（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；

（3）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离．

Answer 1

              （1）证明：如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，

又∵四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，

∴∠BAE=∠DAG．

∴在△ABE与△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴BE=DG；

（2）解：①如图3，连接AC，AF，CF，

∵四边形ABCD与AEFG是正方形，

∴∠ACD=∠AFE=45°，

∵∠DCE=90°

∴点A，C，E，F四点共圆，

∵∠AEF是直角，

∴AF是直径，

∴∠ACF=90°，

∵∠ACD=45°，

∴∠FCD=45°

②如图4，连接AC，AF，FG，CG

由（1）知∵△ABE≌△ADG，

∴∠ABE=∠ADG=90°，

∴DG和CG在同一条直线上，

∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，

∵四边形ABCD与AEFG是正方形，

∴∠BAC=∠BAE=45°，

∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，

∴∠AGD+∠GAC=45°，

∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，

∴点A，C，G，F四点共圆，

∵∠AGF是直角，

∴AF是直径，

∴∠ACF=90°，

∴∠FCD=90°+45°=135°．

（3）解：如图5，连接GB、GE，

由已知α=45°，可知∠BAE=45°．

又∵GE为正方形AEFG的对角线，

∴∠AEG=45°．

∴AB∥GE．

∵，AB与GE间的距离相等，

∴GE=8，．

过点B作BH⊥AE于点H，

∵AB=2，

∴．

∴．

∴．

设点G到BE的距离为h．

∴．

∴．

即点G到BE的距离为．