Question

17．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．
（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；
（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；
（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan∠D=$\frac{4}{3}$，求线段AH的长．

Answer 1

分析 （1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；
（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；
（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH=$\frac{NH}{NB}$=$\frac{3a}{6a}$=$\frac{1}{2}$，利用OP²+PB²=OB²，得出a的值进而求出答案．

解答 （1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠D=∠EBC，
∵GF⊥AD，AE⊥DG，
∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，
∴∠ABF=∠D，
∵∠ABF=∠GBE，
∴∠GBE=∠EBC，
即BE平分∠GBC；

（2）证明：如图2，连接CB，
∵AB⊥CD，BF⊥AD，
∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，
∴∠D=∠ABG，
∵∠D=∠ABC，
∴∠ABC=∠ABG，
∵AB⊥CD，
∴∠CEB=∠GEB=90°，
在△BCE和△BGE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠ABG}\\{BE=BE}\\{∠BEC=∠BEG}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BGE（ASA），
∴CE=EG，
∵AE⊥CG，
∴AC=AG；

（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，
∵CM是⊙O的直径，
∴∠MAC=90°，
∵∠M=∠D，tanD=$\frac{4}{3}$，
∴tanM=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AC}{AM}$=$\frac{4}{3}$，
∵AG=4，AC=AG，
∴AC=4，AM=3，
∴MC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{M}^{2}}$=5，
∴CO=$\frac{5}{2}$，
过点H作HN⊥AB，垂足为点N，
∵tanD=$\frac{4}{3}$，AE⊥DE，
∴tan∠BAD=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{NH}{AN}$=$\frac{3}{4}$，
设NH=3a，则AN=4a，
∴AH=$\sqrt{N{H}^{2}+A{N}^{2}}$=5a，
∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，
∴HF=NH=3a，
∴AF=8a，
cos∠BAF=$\frac{AN}{AH}$=$\frac{4a}{5a}$=$\frac{4}{5}$，
∴AB=$\frac{AF}{cos∠BAF}$=10a，
∴NB=6a，
∴tan∠ABH=$\frac{NH}{NB}$=$\frac{3a}{6a}$=$\frac{1}{2}$，
过点O作OP⊥AB垂足为点P，
∴PB=$\frac{1}{2}$AB=5a，tan∠ABH=$\frac{OP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∴OP=$\frac{5}{2}$a，
∵OB=OC=$\frac{5}{2}$，OP²+PB²=OB²，
∴25a²+$\frac{25}{4}$a²=$\frac{25}{4}$，
∴解得：a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AH=5a=$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH=$\frac{OP}{PB}$=$\frac{1}{2}$是解题关键．