Question

如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE²=AC•AP；
（3）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，∠EAO=∠FCO，证△AOE≌△COF，推出OE=OF即可；
（2）证△AOE∽△AEP，得出比例式，即可得出答案；
（3）设AB=xcm，BF=ycm，根据菱形的性质得出AF=AE=10cm，根据勾股定理求出x²+y²=100，推出（x+y）²-2xy=100①，根据三角形的面积公式求出xy=24．即xy=48 ②．即可求出x+y=14的值，代入x+y+AF求出即可．
解答：（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．

（2）证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴=，
即AE²=AO•AP，
∵AO=AC，
∴AE²=AC•AP，
∴2AE²=AC•AP．

（3）解：设AB=xcm，BF=ycm．
∵由（1）四边形AFCE是菱形，
∴AF=AE=10cm．
∵∠B=90°，
∴x²+y²=100．
∴（x+y）²-2xy=100①．
∵△ABF的面积为24cm²，
∴xy=24．即xy=48 ②．
由①、②得（x+y）²=196．
∴x+y=14或x+y=-14（不合题意，舍去）．
∴△ABF的周长为：x+y+AF=14+10=24（cm）．
点评：本题综合考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定等知识点的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．