Question

如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．
（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；
（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm²．求S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）分别表示出AP、AE和PE的长，利用三角形的面积求法求得三角形APE的面积即可；
（2）分0≤t≤6、6≤t≤8和8≤t≤10三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．

解答：解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=

3

．
∴S_△APE=

3

2

．

（2）当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，
设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=

t

2

，QF=

3

2

t，AP=t+2，AG=1+

t

2

，PG=

3

+

3

2

t．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=

3

2

t+

3

2

．
当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．
设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，
则AQ=t，AF=

t

2

，DF=4-

t

2

，QF=

3

2

t，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10-t）

3

，
而BD=4

3

，
故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=-

5 3

8

t²+10

3

t-34

3

．
当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．
设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，
则CQ=20-2t，QF=（20-2t）

3

，CP=10-t，PG=（10-t）

3

．
∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=

2 3

3

t²-30

3

t+150

3

．
故S关于t的函数关系式为S=

3 2 t+ 3 2                      (0≤t≤6) - 5 3 8 t2+10 3 t-34 3 (6≤t≤8) 3 3 2 t2-30 3 t+150 3 (8≤t≤10)

．

点评：本题考查了相似形的综合知识，特别是第（2）题中的分类讨论思想更是中考的热点考题之一，应重点掌握．