Question

【题目】如图 1，在第四象限的矩形 ABCD，点 A 与坐标原点 O 重合，且 AB=4，AD=3．点 Q 从 B点出发以每秒 1 个单位长度的速度沿 B→C→D 运动，当点 Q 到达点 D 时，点 Q 停止运动，设点 Q 运动的时间为 t 秒．

⑴请直接写出图 1 中，点 C 的坐标，并求出直线 OC 的表达式；

⑵求△ACQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；

⑶如图 2，当点 Q 开始运动时，点 P 从 C 点出发以每秒 2 个单位长度的速度运动向点 A运动，当点 P 到达 A 点时点 Q 和点 P 同时停止运动，当△QCP 与△ABC 相似时，求出相应的 t 值．

Answer 1

【答案】（1）（4，-3）； （2） （3）或

【解析】

（1）根据四边形是矩形及AB=4，AD=3可直接写成点 C 的坐标，并用待定系数法求出直线 OC 的表达式；

（2）分点Q在线段BC上及线段CD上两种情况讨论；

（3）先确定Q点的位置，再分和两种情况讨论.

（1）根据题意得：

点 C 的坐标为（4，-3）

设直线 OC 的表达式为：y=kx

则-3=4k k=-

∴直线 OC 的表达式为：

（2）当点Q在线段BC上，即0≤t≤3时，

S=

当点Q在线段CD上，即3＜t≤7时，

∴

（3）∵四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3．

∴AC=5

∴P点从C点到A点需要2.5秒，则Q点在BC上运动

当△QCP∽ACB时，，

则 ，解得：

当△QCP∽BCA时，，

则 ，解得：

故当△QCP 与△ABC 相似时，或