Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC，垂足为点H，连接DE，交AB于点F．

（1）求证：DH是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，AE=FE时，求的长（结果保留π）；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD，由等腰三角形的性质得∠ODB=∠OBD=∠ACB，从而得OD∥AC，进而得DH⊥OD，即可得到结论；

（2）设∠B=∠C=α，由三角形外角的性质得∠EAF=∠EFA=2α，由圆周角定理的推论，得∠E=∠B=α，结合三角形内角和定理，可得α的值，从而可得∠AOD的度数，结合弧长公式，即可求解．

（1）连接OD，

∵OB=OD，

∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB，

∵在△ABC中， AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠OBD=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴DH⊥OD，

∴DH是⊙O的切线；

（2）∵AE=EF，

∴∠EAF=∠EFA，

设∠B=∠C=α，

∴∠EAF=∠EFA=2α，

∵∠E=∠B=α，

∴α+2α+2α=180°，

∴α=36°，

∴∠B=36°，

∴∠AOD=72°，

∴的长==．