Question

11．已知：D是等边△ABC中BC边上一个不与B，C重合的动点，且△ADE也是等边三角形．
（1）图中与△ABD相似的三角形一共有2个，它们是△AEF与△CDF；
（2）若E，C两点间的距离为2$\sqrt{3}$，AB=8+$\sqrt{3}$，求△ADE的边长；
（3）若△AEF与△FDC面积的差为$\sqrt{3}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠B=∠C=∠3=60°，于是得到∠1+∠2=∠DFC+∠2，推出△ABD∽△DCF；由于∠E=∠C=60°，∠AFE=∠DFC，得到△AFE∽△DCF，根据相似三角形的传递性得到△AFE∽△ABD，即可得到结论；
（2）连接CE，根据等边三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE=60°，推出△BAD≌△CAE（SAS），得到BD=CE，过D作DH⊥AB于H，解直角三角形即可得到结论；
（3）根据已知条件△AEF与△FDC面积的差为$\sqrt{3}$，于是得到△ADE与△ADC的面积差=$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式得到$\frac{\sqrt{3}}{4}$（AD²-AB²+AB•BD）=$\sqrt{3}$，在Rt△ADH中，根据勾股定理得到BD²=AD²-AB²+AB•BD，②，化简整理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，
∴∠B=∠C=∠3=60°，
∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，
∴∠1=∠DFC，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠E=∠C=60°，∠AFE=∠DFC，
∴△AFE∽△DCF，
∴△AFE∽△ABD，
∴与△ABD相似的三角形一共有2个，它们是△AEF与△CDF；
故答案为：2，△AEF与△CDF；

（2）解：连接CE，
∵△ABC为等边三角形，△ADE也是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=60°，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，
过D作DH⊥AB于H，
∵∠B=60°，BD=CE=2$\sqrt{3}$，∴BH=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，DH=3，
∴AH=8，AD=$\sqrt{A{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴△ADE的边长是$\sqrt{73}$；

（3）解：∵△AEF与△FDC面积的差为$\sqrt{3}$，
∴△ADE与△ADC的面积差=$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE-（S_△ABC-S_△ABD）=$\frac{1}{2}$•AD²sin60°-$\frac{1}{2}$•AB²sin60°+$\frac{1}{2}$AB•BDsin60°
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（AD²-AB²+AB•BD）=$\sqrt{3}$，①，
在Rt△ADH中，∵AD²=AH²+DH²，
∵BH=$\frac{1}{2}$BD，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD，
∴AD²=（AB-$\frac{1}{2}$BD）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD）²，
=AB²-AB•BD+BD²，
∴BD²=AD²-AB²+AB•BD，②，
把②代入①得：$\frac{\sqrt{3}}{4}$BD²=$\sqrt{3}$，
∴BD=2．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定方法，等边三角形的性质等知识，全等三角形的判定和性质，得出对应角关系是解题关键．