Question

1．如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA=2$\sqrt{3}$；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为$\frac{π}{2}$；
其中正确的是①②（把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

分析 ①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA=AC；
②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；
③如图2，当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；
④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．

解答 解：在Rt△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=4，AC=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA=AC=2$\sqrt{3}$；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB=∠ACB=90°，
∴OE=CE=$\frac{1}{2}$AB=2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，当∠ABO=30°时，∠OBC=∠AOB=∠ACB=90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以③不正确；
④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的$\frac{1}{4}$，
则：$\frac{90π×2}{180}$=π，
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②；
故答案为：①②．

点评 本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．