Question

【题目】如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°．

（1）∠C的度数为　 　；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当AB=3时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

Answer 1

【答案】（1）∠C=30°；（2）证明见解析；（3）+3π．

【解析】

（1）直接根据圆周角定理得到∠C=∠D=30°；

（2）先根据圆周角定理得∠ABC=90°，则∠BAC=60°，所以∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，于是可根据切线的判定定理得到AE是⊙O的切线；

（3）连结OB，先判断△OAB为等边三角形，则OA=3，∠AOB=60°，所以∠BOC=120°，然后利用图中阴影部分的面积=S△AOB+S扇形BOC和扇形的面积公式、等边三角形的面积公式计算即可．

（1）∠C=∠D=30°．

故答案为：30°；

（2）∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=60°，而∠EAB=30°，∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=90°，∴CA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；

（3）连结OB，如图，∵∠BAC=60°，AB=3，∴△OAB为等边三角形，∴OA=3，∠AOB=60°，∴∠BOC=120°，∴图中阴影部分的面积=S△AOB+S扇形BOC=×32+=+3π．