Question

1．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2$\sqrt{5}$，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B，则k的值为-8．

Answer 1

分析 根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．

解答 解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，
∴∠DBO+∠BOD=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△DBO∽△COA，
∴$\frac{BO}{OA}=\frac{BD}{OC}=\frac{DO}{CA}$，
∵点A的坐标为（2，1），
∴AC=1，OC=2，
∴AO=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{BD}{2}=\frac{DO}{1}$，即BD=4，DO=2，
∴B（-2，4），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点B，
∴k的值为-2×4=-8．
故答案为：-8

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形，注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横、纵坐标的积是定值k，即xy=k，这是解决问题的关键．