Question

8．如图，已知抛物线y=ax²-5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似（排除全等的情况）？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入抛物线y=ax²-5ax+2（a≠0）求得抛物线的解析式即可；
（2）求出抛物线的对称轴，再求得点B、C坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，再把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，求得k和b即可；
（3）设N（x，ax²-5ax+2），分两种情况讨论：①△OBC∽△HNB，②△OBC∽△HBN，根据相似，得出比例式，再分别求得点N坐标即可．

解答 解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax²-5ax+2（a≠0）上，
∴a-5a+2=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2；
（2）抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$，
∴点B（4，0），C（0，2），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴直线BC的解析式y=-$\frac{1}{2}$x+2；
（3）
方法一：
设N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2），分三种情况讨论：
①当△OBC∽△HNB时，如图1，
$\frac{OB}{HN}$=$\frac{OC}{BH}$，
即$\frac{4}{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}$=$\frac{2}{x-4}$，
解得x₁=5，x₂=4（不合题意，舍去），
∴点N坐标（5，2）；
②当△OBC∽△HBN时，如图2，
$\frac{OB}{BH}$=$\frac{OC}{HN}$，
即$\frac{4}{4-x}$=-$\frac{2}{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}$，
解得x₁=2，x₂=4（不合题意舍去），
∴点N坐标（2，-1）；
③当N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2）在第二象限时，
H（x，0）在x轴的负半轴上，
∴BH=4-x，
∵△OBC∽△HNB，
∴$\frac{OB}{HN}=\frac{OC}{HB}$，
即$\frac{4}{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}$=$\frac{2}{4-x}$，
得到x²-x-12=0
解得x₁=4（舍去）； x₂=-3，
∴N点的坐标为（-3，14）
综上所述，N点的坐标为（5，2）、（2，-1）或（-3，14）．

方法二：
以B，N，H为顶点的三角形与△OBC相似，
∴$\frac{NH}{NB}=\frac{OB}{OC}$，$\frac{HN}{NB}=\frac{OC}{OB}$，
设N（2n，2n²-5n+2），H（2n，0），
①|$\frac{2{n}^{2}-5n+2}{2n-4}$|=$\frac{4}{2}$，
∴|$\frac{2n-1}{2}$|=2，
∴2n₁=5，2n₂=-3，
②|$\frac{2{n}^{2}-5n+2}{2n-4}$|=$\frac{1}{2}$，
∴|$\frac{2n-1}{2}$|=$\frac{1}{2}$，
∴2n₁=2，2n₂=0（舍）
综上所述：存在N₁（5，2），N₂（2，-1），N₃（-3，14），
使得以点B、N、H为顶点的三角形与△OBC相似．

点评 本题考查了二次函数的综合题，以及二次函数解析式和一次函数的解析式的确定以及三角形的相似，解答本题需要较强的综合作答能力，特别是作答（3）问时需要进行分类，这是同学们容易忽略的地方，此题难度较大．