Question

10．如图，正方形ABCD的边长为5，连接BD，在线段CD上取一点E，在线段BD上取点F，使得∠BEC=∠DEF，当S_△DEF=$\frac{1}{3}$S_△EFB时，在线段BC上有一点G，使FG+EG最短，则CG=$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 先利用轴对称找出点G的位置，再利用S_△DEF=$\frac{1}{3}$S_△EFB，得出DB=4DF，进而求出FM，EM，再判断出△EMF∽△ECB，从而得出EC=3，最后用平行线分线段成比例即可求出CG．即可．

解答 解：如图，延长EC至N，使CN=CE，连接FN交BC于G，此时的点G就是使FG+EG最短，
∵S_△DEF=$\frac{1}{3}$S_△EFB，
∴$\frac{DF}{BF}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{DF}{DB}=\frac{1}{4}$，
过点F作FM⊥CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴FM∥BC，
∴$\frac{FM}{BC}=\frac{DM}{DC}=\frac{DF}{DB}$，
∵BC=CD=5，
∴$\frac{FM}{5}=\frac{DM}{5}=\frac{1}{4}$，
∴FM=DM=$\frac{5}{4}$，
∵∠BEC=∠DEF，∠EMF=∠ECB=90°，
∴△EMF∽△ECB，
∴$\frac{EM}{EC}=\frac{FM}{BC}=\frac{\frac{5}{4}}{5}$，
∴EC=4EM，
∵EM+EC+DM=5，
∴EM=$\frac{3}{4}$，EC=3，
∴CN=CE=3，MN=CN+CE+ME=3+3+$\frac{3}{4}$=$\frac{27}{4}$，
∵CG∥FM，
∴$\frac{CG}{FM}=\frac{CN}{MN}$，
∴$\frac{CG}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{\frac{27}{4}}$，
∴CG=$\frac{5}{9}$，
故答案为：$\frac{5}{9}$．

点评 此题是轴对称--最短路线问题，主要考查了同高的两三角形的面积比是底的比，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解本题的关键．