(2013•雨花台区一模)如图.在直角坐标系中.A点坐标为.点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动.同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动.当点Q运动到点O时两点同时停止运动．(1)设P点运动时间为t秒.M为PQ的中点.请用t表示出M点的坐标为(4-t.3-12t)(4-t.3-12t),(2)设△BPM的面积为S.当t为何值时.S有最大值.最� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2013•雨花台区一模）如图，在直角坐标系中，A点坐标为（0，6），B点坐标为（8，0），点P沿射线BO以每秒2个单位的速度匀速运动，同时点Q从A到O以每秒1个单位的速度匀速运动，当点Q运动到点O时两点同时停止运动．

（1）设P点运动时间为t秒，M为PQ的中点，请用t表示出M点的坐标为

（4-t，3-

t）

（4-t，3-

t）

；
（2）设△BPM的面积为S，当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请画出M点的运动路径，并说明理由；
（4）若以A为圆心，AQ为半径画圆，t为何值时⊙A与点M的运动路径只有一个交点？

分析：（1）求得P、Q的坐标，根据M是PQ的中点，则M的坐标即可求解；
（2）求出BP的长，△BPQ中BP边上的高是M的纵坐标，根据三角形的面积公式即可求得函数解析式，然后根据函数的性质即可求得最值；
（3）根据M的坐标的关系确定M所在的函数解析式，即可确定所在的图形；
（4）⊙A与点M的运动路径只有一个交点，则⊙A与射线y=

x相切，则△OAE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的边角关系即可列方程求解．

解答：

解：（1）∵OP=8-2t，OQ=6-t
又∵M为PQ的中点，
∴M点的坐标为（4-t，3-

t）；

（2）BP=2t，M的纵坐标是：3-

t，
则S=

•2t•（3-

t），
即S=-

t²+3t=-

（t-3）²+

，
则当t=3时，S有最大值是

；

（3）∵M点的坐标为（4-t，3-

t），
∴M在y=

x+1上，即运动的路径是y=

x+1（x≥0）；

（4）⊙A与点M的运动路径只有一个交点，则⊙A与射线y=

x+1相切，
∴A到直线的距离为AQ=t，
设切点为E，
则cos∠AOE=

，
解得：t=2

．

点评：本题考查了圆与直线的位置关系，以及等腰直角三角形的性质，正确确定M运动的路径是射线，是解题的关键．

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