Question

19．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点A的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于另一点P
（1）若抛物线y=x²+bx+c与直线y=kx+k的另一个交点恰好为点B，求k与b的关系式；
（2）当b-2k=3时，若点P到直线y=kx+k的距离为d，试比较$d\sqrt{1+{k^2}}$与OB+2b的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由一次函数解析式即可求得A、B两点的坐标，然后分别代入抛物线的解析式即可求出k与b的关系式；
（2）当b=2k+3时，再由A点的坐标即可求得抛物线的解析式为y=x²+（2k+3）x+2k+2，然后令y=0即可求出点P的坐标，利用点A与点P的坐标即可求出AP长度，利用tan∠OAB即可求出d=AP•sin∠OAB，利用作差法求出d$\sqrt{1+{k}^{2}}$-OB-2b与0大小关系即可．

解答 解：（1）令y=0代入y=kx+k，
∴kx+k=0，
∴x=-1，
∴A（-1，0），
令x=0代入y=kx+k，
∴y=k，
∴B（0，k），
若抛物线y=x²+bx+c与直线y=kx+k的另一个交点恰好为点B时，
此时k=c，
把（-1，0）代入y=x²+bx+k，
∴k=b-1；

（2）把（-1，0）代入y=x²+bx+c，
∴0=1-b+c，
∴y=x²+b+b-1，
又∵b=2k+3，
∴y=x²+（2k+3）x+2k+2，
令y=0代入y=x²+（2k+3）x+2k+2，
可得（x+1）（x+2k+2）=0，
∴x=-1或者x=-2k-2，
∴P（-2k-2，0），
由（1）可知：B（0，k），A（-1，0）
∴OB=k，OA=1
∴tan∠OAB=$\frac{OB}{OA}$=k，
∴sin∠OAB=$\frac{k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵sin∠OAB=$\frac{d}{AP}$，
∴d=AP•sin∠OAB
∵-2k-2＜-1，
∴AP=-1-（-2k-2）=2k+1，
∴d=$\frac{（2k+1）k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d$\sqrt{1+{k}^{2}}$-OB-2b
=（2k+1）k-k-2（3+2k）
=2k²-4k-6
当0＜k＜3时
2k²-4k-6＜0
此时d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＜OB+2b，
当k=3时，
2k²-4k-6=0，
d$\sqrt{1+{k}^{2}}$=OB+2b，
当k＞3时，
2k²-4k-6＞0，
此时d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＞OB+2b
综上所述，当0＜k＜3时，d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＜OB+2b；当k=3时，d$\sqrt{1+{k}^{2}}$=OB+2b，当k＞3时，d$\sqrt{1+{k}^{2}}$＞OB+2b

点评 本题考查二次函数的应用，综合运用了锐角三角函数，一元二次方程的解法等知识，综合程度较高，考察学生的综合运用知识的能力．