Question

14．如图，在?ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F．
（1）求DF的长；
（2）点H为CD的中点，连接AH交BF于点G，点G是BF的中点吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和角平分线证出∠F=∠FBC，得出BC=CF=6，即可得出结果；
（2）证出FH=AB，由AAS证明△ABG≌△HFG，得出对应边相等即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC=AD=6，CD=AB=4，
∴∠F=∠FBA，
∵∠ABC平分线为BE，
∴∠FBC=∠FBA，
∴∠F=∠FBC，
∴BC=CF=6，
∴DF=CF-CD=6-4=2．
（2）如图所示：点G是BF的中点；理由如下：
∵点H为CD的中点，
∴DH=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴HF=DF+DH=4，
∴HF=AB，
在△ABG和△HFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠F}&{\;}\\{∠AGB=∠HGF}&{\;}\\{AB=FH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△HFG（AAS），
∴BG=FG，
∴点G是BF的中点．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．