分析 (1)由条件可得出AB=BC=AC,再利用旋转可得出QM=MC,证得CB=CD=BA,再由三角形外角的性质即可得出结论;
(2)由(1)可得BM为AC的垂直平分线,结合条件可以得出Q,C,A在以P为圆心,PA为半径的圆上,由圆周角定理可得∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α,可得出∠CDB和α的关系;
(3)借助(2)的结论和PQ=QD,可得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,结合∠BAD>∠PAD>∠MAD,代入可得出α的范围.
解答 解:(1)如图1,∵BA=BC,∠BAC=60°,
∴AB=BC=AC,∠ABC=60°,
∵M为AC的中点,
∴MB⊥AC,∠CBM=30°,AM=MC.
∵PQ由PA旋转而成,
∴AP=PQ=QM=MC.
∵∠AMQ=2α=120°,
∴∠MCQ=60°,∠QMD=30°,
∴∠MQC=60°.
∴∠CDB=30°.
故答案为:30°;
(2)如图2,连接PC,
∵由(1)得BM垂直平分AC,
∴AP=PC,∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC=PA,
∴Q,C,A在以P为圆心,PA为半径的圆上,
∴∠ACQ=$\frac{1}{2}$∠APQ=α,
∴∠BAC=∠ACD,
∴DC∥BA,
∴∠CDB=∠ABD=90°-α.
故答案为:90°-α;
(3)∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°.
故答案为:45°<α<60°.
点评 本题考查的是几何变换综合题,涉及到菱形的判定和性质及圆周角定理、垂直平分线等知识的综合应用,在(1)中掌握菱形的判定方法是解题的关键,在(2)中得出Q、C、A三点共圆利用圆周角定理得出结论是解题的关键.
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A. | ①②③ | B. | ①②③④ | C. | ①②③⑤ | D. | ①②③④⑤ |
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A. | 3.5 | B. | 3 | C. | 0.5 | D. | -3 |
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