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    阅读下列材料：
    问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．
    小娜同学的想法是：不妨设PA=1，PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决．
    请你回答：图2中∠APB的度数为______．
    请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：
    如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．
    （1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
    （2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于______．

    【答案】分析：图2中，根据旋转的性质知△BCP≌△BAE．由全等三角形的对应边相等、等腰三角形的判定推知△BPE是等腰三角形，则∠BPE=∠BEP=45°；然后由全等三角形的对应边相等、勾股定理证得∠APE=90°；最后根据图中角与角间的数量关系求得∠APB=135°；
    （1）设法把PA、PB、PC相对集中，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，问题得以解决．
    （2）根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．然后根据全等三角形的对应边、对应角相等，周角的定义以及三角形内角和定理来求以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数．
    解答：解：如图2．
    ∵根据旋转的性质知∠PBE=90°，△BCP≌△BAE．
    ∴BP=BE，PC=AE，
    ∴∠BPE=∠BEP=45°．
    又PA：PB：PC=1：2：3，
    ∴AE2=AP2+PE2，
    ∴∠APE=90°，
    ∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°，即图2中∠APB的度数为135°．
    故答案是：135°；

    （1）如图3，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACM，然后连接PM，△APM即为所求，即以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形是△APM．

    （2）如图3．
    ∵根据旋转的性质知∠PCM=60°，△BCP≌△ACM．
    ∴PC=CM，∠AMC=∠BPC=125°，
    ∴△PCM是等边三角形，
    ∴∠MPC=∠PMC=60°，∠AMP=∠AMC-∠PMC=65°．
    ∵∠APB=115°，∠BPC=125°，∠APB+∠BPC+∠MPC+∠APM=360°，
    ∴∠APM=60°，
    ∴∠PAM=180°-∠APM-∠AMP=55°．
    ∴以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于  60°、65°、55°．
    故答案是：60°、65°、55°．
    点评：本题综合考查了旋转的性质，等边三角形和正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识点．旋转变化前后，对应角、对应线段分别相等，图形的大小、形状都不变．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料：
    问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图①，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．
    小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=
    		5
    ，由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长，于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③所示的新正方形．精英家教网
    请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
    现有10个边长为1的正方形，排列形式如图④，请把它们分割后拼接成一个新的正方形，要求：在图④中画出分割线，并在图⑤的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程．）

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    25、请阅读下列材料：
    问题：如图，在正方形ABCD和平行四边形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
    探究：当PG与PC的夹角为多少度时，平行四边形BEFG是正方形？
    小聪同学的思路是：首先可以说明四边形BEFG是矩形；然后延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案．
    请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题．
    （1）求证：四边形BEFG是矩形；
    （2）PG与PC的夹角为
    90
    度时，四边形BEFG是正方形．
    理由：

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料：
    问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
    解：设所求方程的根为y，则y=2x所以x=
    y
    2
    ．
    把x=
    y
    2
    代入已知方程，得（
    y
    2
    ）2+
    y
    2
    -1=0
    化简，得y2+2y-4=0
    故所求方程为y2+2y-4=0．
    这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
    请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
    （1）已知方程x2+x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为：
     
    ；
    （2）己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•新乡模拟）阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系
    小颖同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
    请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：
    （1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；
    （2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题申的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请阅读下列材料：问题：现有5分边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中画出拼接成的新正方形．
    小东同学的做法是：设新正方形的边长为x（x＞0），依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5，解得x=
    		5
    ，由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线长，于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．
    请你参考小东的做法，解决以下问题．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中画出拼接的新正方形．（说明：直接画出图形，不要求写分析过程）

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