Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+b与抛物线y=-

1

2

x2-

1

2

x+3交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为-4，点P为直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，作PH⊥AB于H．
（1）求b的值及sin∠PQH的值；
（2）设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P到直线AB的距离PH的长，并求出PH之长的最大值以及此时t的值；
（3）连接PB，若线段PQ把△PBH分成的△PQB与△PQH的面积相等，求此时点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入直线解析式，求出点B的值，然后根据点A和点C的坐标，求出OA和OC的长度，根据勾股定理求出AC的长度，根据PQ∥OC，可得∠PQH=∠OCA，然后求出sin∠PQH的值；
（2）求出点P和点Q的坐标，运用三角函数，求出PH的函数关系式，运用求最大值的方法求解即可．
（3）作BD⊥PQ交PQ的延长线于点D，由S_△PQB=S_△PQH，得出BQ=QH，利用三角函数求出QH和BQ的关系式，运用相等的关系求出t，即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）令y=0得-

1

2

x2-

1

2

x+3=0，化简x²+x-6=0，解得x₁=-3，x₂=2，
∴A（2，0），
∵A（2，0）在直线y=

1

2

x+b上，
∴1+b=0，解得b=-1，
∴OC=1，OA=2，
∴AC=

OC2+OA2

=

5

，
∵PQ∥OC，
∴∠PQH=∠OCA，
∴sin∠PQH=sin∠OCA=

2

5

=

2 5

5

．
（2）∵P（t，-

1

2

t²-

1

2

t+3），Q（t，

1

2

t-1），
∴PQ=-

1

2

t²-t+4，
sin∠PQH=

2 5

5

．
∴PH=（-

1

2

t²-t+4）×

2

5

=-

5

5

（t²+2t）+

8 5

5

=-

5

5

（t+1）²+

9 5

5

，
∴当t=-1时，PH有最大值

9 5

5

，
（3）如图，作BD⊥PQ交PQ的延长线于点D，设点P的横坐标为t，

∵S_△PQB=S_△PQH，
∴BQ=QH，
在RT△PHQ中，
∵sin∠PQH=

2

5

，
∴QH：PH：PQ=1：2：

5

，
∴QH=

1

5

PQ=

1

5

×（-

1

2

t²-t+4），
在RT△BDQ中，
∵∠BQD=∠PQH，
∴sin∠BQD=sin∠PQH=

2

5

．
∴

BD

BQ

=

2

5

，
∴BQ=

5

2

BD=

5

2

（t+4），
∵BQ=QH，
∴

5

2

（t+4）=

1

5

×（-

1

2

t²-t+4），
∴t²+7t+12=0，
∴t₁=-3，t₂=-4（舍去），
∴P（-3，0）．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及勾股定理，三角函数及方程，解题的关键是找准相等解的关系利用三角函数求解．