Question

10．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠A=30°，点D是弦AC上的一点，动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，设点P在整个运动过程中的时间为t，则t的最小值是2$\sqrt{3}$s．

Answer 1

分析 因为动点P从点C沿CA以2cm/s的速度向点D运动，再沿DO以1cm/s的速度向点O运动，因此只要将2OD+CD放在同一条直线上，和为最小即可作出判断，当DO⊥AB时，2OD+CD=AC，求出AC的长，再根据速度求t．

解答 解：如图，当DO⊥AB时，2OD+CD有最小值，即t有最小值，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=30°，AB=8cm，
∴AC=4$\sqrt{3}$cm，
在Rt△AOD中，AD=2OD，
∴t=$\frac{CD}{2}$+$\frac{OD}{1}$=$\frac{CD}{2}$+$\frac{AD}{2}$=$\frac{AC}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
即t的最小值是2$\sqrt{3}$s．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆周角定理、直角三角形中30°角的性质、圆中的动点运用问题，要熟练掌握直径所对的圆周角是直角，当一动点在两条线段运动，且速度不同时，一般要把它化为在同一线段上，以相同速度运动，此题有难度，还要注意数形结合思想的应用．