我们知道:三角形的三条角平分线交于一点.这个点称为三角形的内心．现在规定:如果四边形的四个角的角平分线交于一点.我们把这个点也成为“四边形的内心．(1)试举出一个有内心的四边形．(2)如图1.已知点O是四边形ABCD的内心.求证:AB+CD=AD+BC．(3)如图2.Rt△ABC中.∠C=90°．O是△ABC的内心．若直线DE截边AC.BC于点D.E.且O仍然是四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

我们知道：三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为三角形的内心（三角形内切圆的圆心）．现在规定：如果四边形的四个角的角平分线交于一点，我们把这个点也成为“四边形的内心”．

（1）试举出一个有内心的四边形．
（2）如图1，已知点O是四边形ABCD的内心，求证：AB+CD=AD+BC．
（3）如图2，Rt△ABC中，∠C=90°．O是△ABC的内心．若直线DE截边AC、BC于点D、E，且O仍然是四边形ABED的内心．这样的直线DE可画多少条？请在图2中画出一条符合条件的直线DE，并简单说明作法．
（4）问题（3）中，若AC=3，BC=4，满足条件的一条直线DE∥AB，求DE的长．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据四边形的每条对角线平分一组对角，可得答案；
（2）根据内心是各角角平分线的交点，可得∠EAO=∠FAO，根据HL，可得Rt△AEO和Rt△AFO的关系，根据全等三角形的性质，可得AE与AF的关系，同理可得BF与BG，CG与CH，DH与DE的关系，根据等式的性质，可得答案；
（3）根据四边形内心的意义，可得答案；
（4）根据勾股定理，可得AB的长，根据面积相等，可得CG的长，根据相似三角形的性质，可得方程，根据比例的性质，可得方程的解，可得答案．

解答：解：（1）菱形；
（2）作OE⊥AD与E，OF⊥AB与F，CG⊥BC与G，OH⊥CD与H，

∵∠AEO=∠AFO=90°
∴O是四边形ABCD的内心
∴∠EAO=∠FAO
在Rt△AEO和Rt△AFO中，

AO=AO

OE=OF

∴Rt△AEO≌Rt△AFO（HL）
∴AE=AF，
同理：BF=BG，CG=CH，DH=DE，
∴AE+DEBG+CG=AF+BF+CH+DH
即：AD+BC=AB+CD；
（3）有无数条
作△ABC的内切圆圆O，切AC、BC于M、N，在弧MN上取一点F，作过F点作圆O的切线，交AB于E，交AC于D，沿DE剪裁，

（4）作CG⊥AB与点G，

由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

32+42

=5
∴CG=

AC•BC

3×4

=2.4
设△ABC的内切圆的半径为r，则r=

(AC+BC-AB)=

(3+4-5)=1
∵DE∥AB
∴△CDE∽△CAB
∴

CG-2r

∴

2.4-2

2.4

∴DE=

．

点评：本题考查了圆的综合题，（1）利用菱形对角线的性质，（2）利用四边形的内心，全等三角形的判定与性质，等式的性质，（3）利用切线的性质，（4）利用三角形内切圆的半径与三边的关系，利用相似三角形的性质．

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