Question

如图（1），已知AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ABC沿AD对折，点C落到点C′的位置，连接BC′，如图（2）
（1）探究BC′与BC之间的数量关系；
（2）若BC=6cm，AD=4cm时，求四边形AC′BD的面积．

Answer 1

解：（1）根据折叠的性质知：∠C′DA=∠ADC=45°，C′D=CD；
∴∠C′DB=∠C′DC=90°，BD=CD=C′D；
∴△BDC′是等腰Rt△，即BC′=BD=×BC=BC；
∴BC′与BC的关系是BC′=BC．

（2）∵BC=6cm，
∴BC′=3cm，C′D=3cm；
过C′作C′E⊥AD于E，则△C′DE是等腰直角三角形；
∴C′E=C′D=cm；
易知∠C′BD=∠ADC=45°，则C′B∥AD，四边形ADBC′是梯形；
∴S_{四边形AC′BD}=（BC′+AD）×C′E=×（3+4）×=+3（cm²）．
分析：（1）根据折叠的性质可得到的条件是：①DC′=DC，②∠C′DA=∠ADC=45°，即C′D⊥CD；由①知DC′=CD=DB，联立②所得到的条件，即可判定△BDC′是等腰直角三角形，因此BC′=BD，而BC=2BD，由此可得到BC、BC′的数量关系；
（2）由于∠C′BD=∠ADC=45°，因此C′B∥AD，所以四边形ADBC′是梯形，根据BC的长和（1）的结论可求出BC′的长；过C′作AD的垂线，设垂足为E，则△C′DE也是等腰直角三角形，根据C′D的长即可求得C′E的长；知道了梯形的上下底和高，即可根据梯形的面积公式求出梯形ADBC′的面积．
点评：本题考查图形的折叠，同时考查了等腰直角三角形、梯形等几何基本知识，难度适中．