Question

15．如图，正方形ABCD，AB=8，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的边上（不与正方形的顶点重合），设BF=m，EF：FG=1：k，其中k≥1，若四边形EFGH是矩形，
（1）求证：△BEF≌△DGH；
（2）当m=1时，求k的值；
（3）若m≥1，求矩形EFGH面积S的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到∠EFG=∠FGH=90°，EF=GH，利用AAS定理证明△BEF≌△DGH；
（2）设BE=x，利用相似三角形的性质列出方程，解方程即可；
（3）根据题意用m表示出矩形EFGH面积S，根据二次函数的性质计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG=∠FGH=90°，EF=GH，又∠B=90°，
∴∠BEF=∠DGH，
在△BEF和△DGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠DGH}\\{∠B=∠D}\\{EF=GH}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DGH；

（2）解：设BE=x，则DG=x，CG=8-x，
∵AB=8，BF=m=1，
∴CF=7，
∵∠EFG=90°，
∴∠EFB+∠GFC=90°，又∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠GFC，又∠B=∠C=90°，
∴△BEF∽△CFG，
∴$\frac{BE}{CF}$=$\frac{BF}{CG}$，即$\frac{x}{7}$=$\frac{1}{8-x}$，
解得，x₁=1，x₂=7（舍去），
∴$\frac{EF}{FG}$=$\frac{BE}{CF}$=$\frac{1}{7}$，即k=$\frac{1}{7}$；

（3）设BE=x，则DG=x，CG=8-x，
∵EF：FG=1：k，k≥1，
∴BF＜CG，即m＜8-m，
解得，m＜4，
∴1≤m≤4，
由（2）得，$\frac{x}{8-m}$=$\frac{m}{8-x}$，
整理得，x²-8x+8m-m²，
解得，x₁=m，x₂=8-m，
当BE=m时，矩形EFGH面积S=$\sqrt{2}$m×$\sqrt{2}$×（8-m）=-2（m-4）²+32，
∵-2＜0，
∴m＜4时，s随m的增大而增大，
∴m=1时，s最小，最小值为-2（1-4）²+32=14．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的解析式的确定和二次函数的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．