【题目】如图,在矩形BCOG中,OC=3,点A为边OG上一点,OA=,AB,∠CBA=30°.动点D以每秒1个单位的速度从点C出发沿CO向终点O运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动,过点D作DF∥AB,交BC于点F,连接AD、DE、EF,设运动时间为1秒.
(1)求DF的长(用含t的代数式表示)
(2)求证:四边形ADFE为平行四边形;
(3)探索当t为何值时,△BEF与以D,E,F为顶点的三角形相似?
【答案】(1)DF=2t;(2)见解析;(3) t=或t=
【解析】
(1)在直角三角形中,30°对应的直角边为斜边的一半;
(2)对边相等且平行的四边形ADFE为平行四边形;
(3)分2种情况讨论。
(1)∵DF∥AB,
∴∠CFD=∠CBA=30°,
∵△CDF是直角三角形,∠CFD=30°
∴DF=2CD=2t;
(2)∵动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向点B运动,
∴AE=2t,
∴DF=AE=2t,
∵DF∥AB,
∴四边形ADEF是平行四边形;
(3)在直角三角形AGB中,∠AGB=90°,
∠GAB=∠CBA=30°,BG=OC=3
∴AB=2BG=6,
∵DF∥AB,
∴∠BEF=∠DFE.
分两种情况:
①当∠BFE=∠DEF时,则△BEF∽△DFE,此时DE∥BC,即四边形DEBF是平行四边形,
∴DF=BE,而DF=2t,BE=6﹣2t,
∴2t=6﹣2t,
解得t=;
②当∠BFE=∠FDE时,则△BEF∽△EFD,
∴,
即EF2=DF×BE,
∵四边形ADEF是平行四边形,即EF=AD,
又AD2=OD2+OA2,
∴(3﹣t)2+()2=2t×(6﹣2t),
解得t=
综上所述,t=或t=
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【题目】如图,轮船从处以每小时60海里的速度沿南偏东方向匀速航行,在处观测灯塔位于南偏东方向上,轮船航行40分钟到达处,在处观测灯塔位于北偏东方向上,求处与灯塔的距离.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N,可得矩形PQNM.如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长;
(3)当矩形PQNM的周长最大时,m的值是多少?并求出此时的△AEM的面积;
(4)在(3)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ,求点F的坐标.
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【题目】如图,直线与轴,轴分别相交于,两点,与双曲线()相交于点,过作轴于点,,在点右侧的双曲线上取一点,作轴于,当以点,,为顶点的三角形与相似,则点的坐标是__________.
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【题目】已知二次函数y=x2-(2m-1)x+m2-m(m是常数)
(1)当m=2时,求二次函数图象与x轴的交点;
(2)若A(n-3,n2+2),B(-n+1,n2+2)是该二次函数图象上的两个不同点,求m的值和二次函数解析式.
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【题目】已知:如图,在中,分别是、的中点,分别是对角线上的四等分点,顺次连接.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)当满足____ 条件时,四边形是菱形;
(3)若,
①探究四边形的形状,并说明理由;
②当时,直接写出四边形的面积.
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