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    如图①，已知正方形AOBC的边长为3，A、B两点分别在y轴和x轴的正半轴上，以D（0，1）为旋转中心，将DB逆时针旋转90°，得到线段DE，抛物线以点E为顶点，且经过点A．

    （1）求抛物线解析式并判断点B是否在抛物线上；
    （2）如图②，判断直线AE与正方形AOBC的外接圆的位置关系，并说明理由；
    （3）若在抛物线上有点P，在抛物线的对称轴上有点Q，使得以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标．
    分析：（1）过E作EF⊥y轴于F，则∠EFD=∠DOB=90°，根据旋转的性质得出∠BDE=90°，DE=DB，由余角的性质及三角形内角和定理可得∠2=∠3，则由AAS证明△DEF≌△BDO，根据全等三角形的对应边相等得到EF=DO=1，FD=OB=3，即抛物线顶点E的坐标为（1，4），则可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，把A（0，3）代入，运用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可判断出点B在抛物线上；

    （2）连接AB，先由正方形的性质可得∠OAB=45°，再证明△EFA为等腰直角三角形，则∠FAE=45°，然后根据平角的定义得出∠EAB=90°，由切线的判定定理即可得出直线AE与圆相切；   

    （3）分两种情况讨论：①当OB为边时，由Q点在对称轴x=1上，根据平行四边形的对边平行且相等可确定P点的横坐标，再代入抛物线的解析式，求出P点纵坐标即可；②OB为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，即PQ的中点与OB的中点重合，根据中点坐标公式求出点P的横坐标，再代入抛物线的解析式，求出P点纵坐标即可．
    解答：解：（1）如图①，过E作EF⊥y轴于F，则∠EFD=∠DOB=90°．
    ∵以D（0，1）为旋转中心，将DB逆时针旋转90°，得到线段DE，
    ∴∠BDE=90°，DE=DB，
    ∴∠1+∠2=90°，
    ∵∠1+∠3=90°，
    ∴∠2=∠3，
    ∴△DEF≌△BDO（AAS），
    ∴EF=DO=1，FD=OB=3，
    ∴E（1，4）．
    设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+4，
    把A（0，3）代入上式，得
    3=a（0-1）2+4，解得a=-1，
    ∴y=-（x-1）2+4．               
    当x=3时，y=-（3-1）2+4=0，
    ∴点B（3，0）在抛物线上；
          
    （2）直线AE与圆相切．理由如下：
    如图②，连接AB，则AB为圆的直径，
    在正方形AOBC中，∠OAB=45°，
    由（1）知，EF=1，FA=OF-OA=4-3=1，
    ∴在Rt△EFA中，∠FAE=45°，
    ∴∠EAB=180°-∠OAB-∠FAE=90°，
    ∴直径AB⊥AE，
    ∴直线AE与圆相切；   
                                 
    （3）①当OB为边时，如图③，

    ∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
    ∴PQ∥OB，且PQ=OB=3．
    ∵点Q在对称轴x=1上，
    ∴点P的横坐标为-2或4．

    当x=-2时，y=-（-2-1）2+4=-5；
    当x=4时，y=-（4-1）2+4=-5．

    即符合条件的点P有两个，P1（-2，-5），P2（4，-5）；
    ②当OB为对角线时，如图④，
    ∵以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，

    ∴PQ与OB互相平分．
    又点Q在对称轴x=1上，且线段OB的中点横坐标为
    3
    2
    ，

    ∴点P的横坐标为2，

    当x=2时，y=-（2-1）2+4=3，
    即符合条件的点P只有一个，即P3（2，3），
    综上所述，符合条件的点P共有三个，即P1（-2，-5），P2（4，-5），P3（2，3）．
    点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到旋转的性质，全等三角形的判定与性质，运用待定系数法求二次函数的解析式，正方形的性质，切线的判定，函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，综合性较强，难度中等，利用数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．
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    14、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．

    （1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
    （2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    作图题
    （1）如图1，已知?ABCD两边长分别是1和2，一个内角为60°，将?ABCD剪一刀成两部分，并拼成一个等腰三角形．要求在原图上画出剪切线和组成的等腰三角形，并填写等腰三角形的周长（本题不限作图工具）
    图1，周长=
    6
    6
                          
    图2，周长=
    2+2
    		17
    2+2
    		17

    （2）如图2，已知正方形ABCD边长为2，将正方形剪两刀成三部分，并拼成一个等腰非直角三角形，要求在原图上画出剪切线和拼成的三角形，并填出等腰三角形的周长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•孝感）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
    （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
    （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
    ①AE=EF是否总成立？请给出证明；
    ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，求此时点F的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）如图1，已知正方形ABCD与正方形DEFG，点A、D、E三点共线，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    （2）如图2，将图1中正方形DEFG绕点D，逆时针转到如图的位置，则S△ADG
    =
    =
    S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
    请说明理由．
    （3）如图3，以△ABC三边向外作三个正方形，分别为正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK，并且△ABC的边AC长为5，边AB长为4，则三角形AKE，三角形CDF，三角形BGH的面积和的最大值为
    30
    30
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知正方形OABC的边长为4，等腰直角三角板OEF的直角边OE、OF分别在OA、OC上，且OE=2．将三角板OEF绕点O逆时针旋转至OE1F1的位置，旋转角为α，连接CF1、AE1．
    （1）请在图2中画出三夹板OEF逆时针旋转90°时的图形，并直接判断此时△OAE1与△OCF1是否全等．
    （2）当0°＜α＜90°时，∠OAE1与∠OCF1是否总有上述关系并加以证明；
    （3）若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE1∥CF1？若存在，请求出旋转角α的度数；若不存在，请说明理由．

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