【题目】如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使得点H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.
阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：
(1)如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
(2)已知三角形ABC的面积为36，BC＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG的面积．
【答案】(1)见解析;(2) 18或
.
【解析】
（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；
（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式
，由此求出x的值，进而求解即可．
解 (1)如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；
(2)在长方形DEFG中，如果DE＝2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N.
∵三角形ABC的面积＝
BC·AM＝×12AM＝36，
∴AM＝6.
设AN＝x，则MN＝6－x，DG＝MN＝6－x，DE＝GF＝2(6－x)＝12－2x.
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴
＝
，
∴
＝
，
解得x＝3，
∴DG＝6－x＝3，DE＝2DG＝6，
∴长方形DEFG的面积＝6×3＝18；
在长方形DEFG中，如果DG＝2DE，同理求出x＝
，
∴DG＝6－x＝
，DE＝DG＝
，
∴长方形DEFG的面积＝×＝.
故长方形DEFG的面积为18或.
故答案为：(1)见解析;(2) 18或.
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【题目】一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“书”、“ 香”、“ 历”、“ 城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．
（1）若从中任取一个球，球上的汉字刚好是 “书”的概率为__________.
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表的方法，求取出的两个球上的汉字能组成“历城”的概率．
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【题目】如图，P点是某海域内的一座灯塔的位置，船A停泊在灯塔P的南偏东53°方向的50海里处，船B位于船A的正西方向且与灯塔P相距20
海里．(本题参考数据sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．)
(1)试问船B在灯塔P的什么方向？
(2)求两船相距多少海里？(结果保留根号)
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【题目】如图是一个腰长为4cm，底边长为3cm的等腰三角形，现在要利用这个等腰三角形加工出一个边长比是1：2的平行四边形，使平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长是_____．
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【题目】已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
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【题目】如图，已知矩形ABCD和矩形EFGO在平面直角坐标系中，点B，F的坐标分别为(－4,4)，(2,1)．若矩形ABCD和矩形EFGO是位似图形，点P(点P在GC上)是位似中心，则点P的坐标为( )
A. (0,3)
B. (0,2.5)
C. (0,2)
D. (0,1.5)
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【题目】如图，O点是△ABC与△D1E1F1的位似中心，△ABC的周长为1.若D1、E1、F1分别是线段OA、OB、OC的中点，则△D1E1F1的周长为
；若OD2＝
OA、OE2＝OB、OF2＝OC，则△D2E2F2的周长为；…若ODn＝OA、OEn＝OB、OFn＝OC，则△DnEnFn的周长为__________．(用正整数n表示)
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【题目】如图，AM是△ABC的中线，点D是线段AM上一点（不与点A重合）．过点D作KD∥AB，交BC于点K，过点C作CE∥AM，交KD的延长线于点E，连接AE、BD．
（1）求证：△ABM∽△EKC；
（2）求证：ABCK＝EKCM；
（3）判断线段BD、AE的关系，并说明理由．
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