Question

某种商品在30天内每件销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系用如图所示的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t是整数）．
（1）求该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额=每件的销售价格×日销售量）

Answer 1

（1）当0＜t＜25时，设P=kt+b，则

b=20 25k+b=45

解得

b=20 k=1

，
则P=t+20；
当25≤t≤30时，设P=mt+n，则

25m+n=75 30m+n=70

，
解得

m=-1 n=100

则P=-t+100，
综上所述：P=

t+20(0＜t＜25) -t+100(25≤t≤30)

（2）设销售额为S元
当0＜t＜25时，S=P•Q=（t+20）•（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900，
则当t=10时，S_max=900，
当25≤t≤30时，S=PQ=（100-t）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
则当t=25时，S_max=1125＞900，
综上所述，第25天时，销售额最大为1125元．