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【题目】如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,BAD=60°,点A的坐标为(2,0).

(1)求C点的坐标;

(2)求直线AC的函数关系式;

(3)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照ADCBA的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?

【答案】(1)C(4,2);

(2)直线AC的解析式为:y=x+

(3)当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.

【解析】

试题分析:(1)在RtAOD中,根据OA的长以及BAD的正切值,即可求得OD的长,从而得到D点的坐标,然后由菱形的邻边相等和对边相互平行来求点C的坐标;

(2)根据点A、C的坐标,利用待定系数法可求得直线AD的解析式.

(3)由于点P沿菱形的四边匀速运动一周,那么本题要分作四种情况考虑:

在RtOAD中,易求得AD的长,也就得到了菱形的边长,而菱形的对角线平分一组对角,那么DAC=BAC=BCA=DCA=30°

当点P在线段AD上时,若P与AC相切,由于PAC=30°,那么AP=2R(R为P的半径),由此可求得AP的长,即可得到t的值;

②③④的解题思路与完全相同,只不过在求t值时,方法略有不同.

试题解析:(1)点A的坐标为(2,0),BAD=60°AOD=90°

OD=OAtan60°=2,AD=4,

点D的坐标为(0,2),

AD=CD,CDAB,

C(4,2);

(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k0),

A(2,0),C(4,2),

解得

故直线AC的解析式为:y=x+

(3)四边形ABCD是菱形,

∴∠DCB=BAD=60°

∴∠1=2=3=4=30°

AD=DC=CB=BA=4,(5分)

如图所示:

点P在AD上与AC相切时,

连接P1E,则P1EAC,P1E=r,

∵∠1=30°

AP1=2r=2,

t1=2.

点P在DC上与AC相切时,

CP2=2r=2,

AD+DP2=6,

t2=6.

点P在BC上与AC相切时,

CP3=2r=2,

AD+DC+CP3=10,

t3=10.

点P在AB上与AC相切时,

AP4=2r=2,

AD+DC+CB+BP4=14,

t4=14,

当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.

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(1)求点E的坐标;

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