【题目】如图所示,菱形ABCD的顶点A、B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(﹣2,0).
(1)求C点的坐标;
(2)求直线AC的函数关系式;
(3)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切?
【答案】(1)C(4,2);
(2)直线AC的解析式为:y=x+;
(3)当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.
【解析】
试题分析:(1)在Rt△AOD中,根据OA的长以及∠BAD的正切值,即可求得OD的长,从而得到D点的坐标,然后由菱形的邻边相等和对边相互平行来求点C的坐标;
(2)根据点A、C的坐标,利用待定系数法可求得直线AD的解析式.
(3)由于点P沿菱形的四边匀速运动一周,那么本题要分作四种情况考虑:
在Rt△OAD中,易求得AD的长,也就得到了菱形的边长,而菱形的对角线平分一组对角,那么∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA=30°;
①当点P在线段AD上时,若⊙P与AC相切,由于∠PAC=30°,那么AP=2R(R为⊙P的半径),由此可求得AP的长,即可得到t的值;
②③④的解题思路与①完全相同,只不过在求t值时,方法略有不同.
试题解析:(1)∵点A的坐标为(﹣2,0),∠BAD=60°,∠AOD=90°,
∴OD=OAtan60°=2,AD=4,
∴点D的坐标为(0,2),
又∵AD=CD,CD∥AB,
∴C(4,2);
(2)设直线AC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
∵A(﹣2,0),C(4,2),
∴,
解得.
故直线AC的解析式为:y=x+;
(3)∵四边形ABCD是菱形,
∴∠DCB=∠BAD=60°,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,
AD=DC=CB=BA=4,(5分)
如图所示:
①点P在AD上与AC相切时,
连接P1E,则P1E⊥AC,P1E=r,
∵∠1=30°,
∴AP1=2r=2,
∴t1=2.
②点P在DC上与AC相切时,
CP2=2r=2,
∴AD+DP2=6,
∴t2=6.
③点P在BC上与AC相切时,
CP3=2r=2,
∴AD+DC+CP3=10,
∴t3=10.
④点P在AB上与AC相切时,
AP4=2r=2,
∴AD+DC+CB+BP4=14,
∴t4=14,
∴当t=2、6、10、14时,以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切.
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【题目】如图,矩形AOBC,A(0,3)、B(5,0),点E在OB上,∠AEO=45°,点P从点Q(﹣3,0)出发,沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t (t≥0)秒.
(1)求点E的坐标;
(2)当∠PAE=15°时,求t的值;
(3)以点P为圆心,PA为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形AEBC的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
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【题目】一种零件的内径尺寸在图纸上是50±0.05(单位:mm),表示这种零件的内径标准尺寸是多少?加工要求最大不超过标准尺寸多少毫米?符合要求的零件内径最小是多少毫米?
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【题目】2017年4月6日,交通运输部科学研究院对外发布《2017年第一季度中国主要城市骑行报告》,报告显示,在车均使用次数方面,昆明排名第一,成为“最爱骑共享单车的城市”.目前已经投入昆明的共享单车约有112000辆.将“112000”用科学记数法表示为( )
A.1.12×103
B.1.12×104
C.1.12×105
D.11.2×104
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知∠AOB=30°,点P在∠AOB的内部,P1与P关于OA对称,P2与P关于OB对称,则△P1OP2是
A. 含30°角的直角三角形 B. 顶角是30的等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
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