Question

19．如图，已知△ABC中，∠C=90°，E、F在AB边上，AF=EF=EB，且CF=sinα，CE=cosα，求斜边AB的长．

Answer 1

分析 延长CF到G，使FG=CF=3，连接EG并延长交AC与H，作DF⊥HG，由SAS定理得出△EFG≌△BFC，故EG=BC，∠G=∠BCF，同理可得△AHE≌△FDE，DF=AH，由平行线分线段成比例可知，HC=2DF，BC=3HE，设DF=AH=a，ED=EH=b，则HC=2a，EG=BC=3b，则DG=3b-b=2b，在Rt△CHE和Rt△FDG中根据勾股定理可知（2a）²+b²=cos²α①，（2b）²+a²=sin²α②，两式相加可得出EF的长，进而得出结论．

解答 解：延长CF到G，使FG=CF=3，连接EG并延长交BC与H，作DF⊥HG，
在△EFG与△AFC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{EF=FA}\\{∠EFG=∠CFA}\\{CF=FG}\end{array}\right.$
∴△EFG≌△AFC（SAS），
∴EG=AC，∠G=∠ACF，
∴GH∥AC，
∴GH⊥BC，
∴DF∥BC，
同理可得△BHE≌△FDE，
∴DF=BH，
由平行线分线段成比例可知，HC=2DF，AC=3HE，
设DF=BH=a，ED=EH=b，则HC=2a，EG=BC=3b，
∴DG=3b-b=2b，
在Rt△CHE和Rt△FDG中，（2a）²+b²=cos²α①，（2b）²+a²=sin²α②，
①+②得，a²+b²=$\frac{1}{5}$，即EF²=$\frac{1}{5}$，解得EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AB=3EF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．