Question

8、如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB； ②CM=CN；③AC=DN．其中，正确结论的个数是（　　）

A、3个

B、2个

C、1个

D、0个

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质得到DC=AC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，根据等式的性质推出∠ACE=∠BCD，能证△ACE≌△DCB，即可判断①；根据全等三角形的性质得到∠AEC=∠CBN，根据平角定义得出∠DCE=∠BCN，即可证明△BCN≌△ECM，得出CM=CN，即可判断②；再证△ACM≌△DCN，即可判断③．

解答：解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴DC=AC，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△ACE≌△DCB，∴①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠CBN，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=180°-60°-60°=60°=∠BCN，
∵∠AEC=∠CBN，CE=CB，
∴△BCN≌△ECM，
∴CM=CN，∴②正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
∵CM=CN，∠ACM=∠DCN=60°，
∴△ACM≌△DCN，
∴DN=AM，∴③错误．
正确的有2个，
故选B．

点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平角的定义，等式的性质等知识点的理解和掌握，能运用等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定进行证明是证此题的关键．