Question

如图，在?ABCD中，对角线BD⊥AB，G为BD延长线上一点且△CBG为等边三角形，∠BCD、∠ABD的角平分线相交于点E，连接CE交BD于点F，连接GE．
（1）若CG的长为8，求?ABCD的面积；
（2）求证：CE=BE+GE．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据平行四边形性质推出CD⊥BD，根据等边三角形的性质得出GC=BC，推出BD=DQ，根据勾股定理求出DC，根据面积公式求出即可；
（2）证△CFB∽△CBE，推出

EB

EC

=

BF

BC

，证△BFE∽△CFG，推出

EF

BF

=

FG

CF

，证△CGF∽△CEG，推出

EG

EC

=

FG

CG

，得出

EB

EC

+

EG

EC

=

BF

BC

+

FG

CG

，根据BC=CG=BG=BF+FG推出

EB+EG

EC

=1即可．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵AB⊥DB，
∴CD⊥BD，
∵△BGC是等边三角形，
∴BG=BC=CG=8，
∴GD=DB=

1

2

BG=4（三线合一定理），
在Rt△GDC中，由勾股定理得：CD=

82-42

=4

3

，
∴平行四边形ABCD的面积是CD×BD=4

3

×4=16

3

；

（2）证明：∵△BCG为等边三角形，
∴∠GBC=∠BGC=∠GCB=60°，
∵BD⊥DC，
∴∠BCD=30°．
∵EC是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE=15°．
∵BE是∠ABD的平分线，∠ABD=90°，
∴∠EBD=45°，∠EBC=45°+60°=105°．
则∠BEC=180°-105°-15°=60°，
∴∠BEC=∠FBC，
∵∠BCF=∠BCE，
∴△CFB∽△CBE，
∴

EB

EC

=

BF

BC

，
∵∠GCE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFC，
∴△BFE∽△CFG，
∴

EF

BF

=

FG

CF

，
∵∠EFG=∠BFC，
∴△EFG∽△BFC
∴∠GEF=∠CBF=60°，而∠BGC=60°，
∴△CGF∽△CEG，
∴

EG

EC

=

FG

CG

，
∴

EB

EC

+

EG

EC

=

BF

BC

+

FG

CG

，
∵△BCG为等边三角形，
∴BC=CG=BG=BF+FG
∴

EB+EG

EC

=1，
∴CE=BE+GE．

点评：本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用，本题综合性比较强，难度偏大．