Question

如图，把抛物线y=-x²（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出抛物线l₁，抛物线l₂与抛物线l₁关于y轴对称，点A，O，B分别是抛物线l₁，l₂与x轴的交点，D，C分别是抛物线l₁，l₂的顶点，线段CD交y轴于点E。
（1）分别写出抛物线l₁与l₂的解析式；
（2）设P使抛物线l₁上与D，O两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P，Q，C，D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？请说明理由；
（3）在抛物线l₁上是否存在点M，使得S_△ABM=S_{四边形AOED}，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）（或）；
（或）；
（2）以P、Q、C、D为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，
理由：点C与点D，点P与点Q关于y轴对称，
∴CD∥PQ∥x轴，
①当P点是l₂的对称轴与l₁的交点时，点P、Q的坐标分别为（-1，-3）和（1，-3），
而点C、D的坐标分别为（-1，1）和（1，1），所以，四边形CPQD是矩形，
②当P点不是l₂的对称轴与l₁的交点时，根据轴对称性质，
有：（或CQ=DP），但CD≠PQ，
四边形CPQD（或四边形CQPD）是等腰梯形；
（3）存在，设满足条件的M点坐标为（x，y），连接MA，MB，AD，
依题意得：，

①当时，
∴
将代入l₁的解析式，解得：，
∴，
②当时，
∴，
将代入l₁的解析式，解得：，
∴。