Question

如图，M（m，n）为第二象限内一点，且m，n恰好为方程t²+2t+p=0的两个根，M点与原点的距离为2

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，平移直线y=-x，使它经过M点，交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）求p的值；
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换,待定系数法求一次函数解析式

专题：

分析：（1）根据M点与原点的距离为2

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，由勾股定理得到m²+n²=（2

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）²，再根据根与系数的关系得到关于p的方程，解方程即可求解；
（2）解方程t²+2t+p=0可得M的坐标，可设直线AB的解析式为y=-x+b，根据待定系数法即可求解．

解答：解：（1）∵M（m，n）为第二象限内一点，M点与原点的距离为2

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，
∴由勾股定理得到m²+n²=（2

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）²，
∵m，n恰好为方程t²+2t+p=0的两个根，
∴m+n=-2，mn=p，
∴（-2）²-2p=（2

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）²，
解得p=-8；
（2）把p=-8代入t²+2t+p=0，可得t²+2t-8=0，
解得t₁=2，t₂=-4，
则m=-4，n=2，
设直线AB的解析式为y=-x+b，把M（-4，2）代入得2=4+b，
解得b=-2．
故直线AB的解析式为y=-x-2．

点评：考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，根与系数的关系，本题关键是得到M的坐标．