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精英家教网如图,已知:⊙O的直径AB与弦AC的夹角∠A=30°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P.
(1)求证:AC=CP;
(2)若PC=6,求图中阴影部分的面积(结果精确到0.1).
(参考数据:
3
=1.73
,π=3.14)
分析:(1)连接OC.根据圆周角定理即可求得∠COP=2∠ACO=60°,根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余,求得∠P=30°,即可证明;
(2)阴影部分的面积即为Rt△OCP的面积减去扇形OCB的面积.
解答:精英家教网(1)证明:连接OC.
∵AB是⊙O的直径,
∴AO=OC,
∴∠ACO=∠A=30°.
∴∠COP=2∠ACO=60°.
∵PC切⊙O于点C,
∴OC⊥PC.
∴∠P=30°.
∴∠A=∠P.
∴AC=PC.

(2)解:在Rt△OCP中,tan∠P=
OC
CP
,∴OC=2
3

∵S△OCP=
1
2
CP•OC=
1
2
×6×2
3
=6
3
且S扇形COB=2π,
∴S阴影=S△OCP-S扇形COB=6
3
-2π≈4.1
点评:综合运用了切线的性质定理、圆周角定理以及扇形的面积公式.
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