Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，∠CAB的角平分线AE交BC于点D，交半圆O于点E．若AB=10，tan∠CAB=，求线段BC和CD的长．

Answer 1

【答案】分析：根据圆周角定理及三角函数可求得AC与BC的长，再根据角的平分线的性质及相似三角形的判定得到△DBF∽△ABC．由相似三角形的对应边成比例即可求得CD的值．
解答：解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠C=90°．
∵tan∠CAB=，
∴．
设AC=4k，BC=3k，
∵AC²+BC²=AB²，AB=10，
∴（4k）²+（3k）²=100．
∴k₁=2，k₂=-2（舍去）．
∴AC=8，BC=6．
过点D作DF⊥AB于F，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴CD=DF．
∵∠DFB=∠ACB=90°，∠DBF=∠ABC，
∴△DBF∽△ABC．
∴．
即．
∴CD=．
点评：此题主要考查圆周角定理，角直角三角形及相似三角形的判定方法等知识的综合运用．