Question

12．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设其横坐标为t．
①设抛物线的对称轴l与x轴交于点E，连结PE交CD于点F，当△CEF与△COD相似时，求点P的坐标；
②当∠BAP=45°时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（0，3）、C（-3，0），代入解析式可求得抛物线的解析式；
（2）①若△CEF与△COD相似，则有∠CFE=90°或∠CEF=90°，当∠CFE=90°时，连接PE并延长交y轴于点H，根据题意可证明△ODC≌△OEH，则OH=OC，可求得Q的坐标，结合E点坐标，可求出直线PH的解析式，联立直线和抛物线的解析式可求得P点坐标；当∠CEF=90°时，可知P点为抛物线的顶点；②连接AD并延长，交抛物线于点P，连接PB，可证得PB∥x轴，则可知∠APB=45°，满足条件．

解答 解：
（1）∵tan∠BAO=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{BO}{1}$=3，解得BO=3，
又由旋转可得OC=OB=3，
∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（0，3）、C（-3，0），
代入二次函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；
（2）①∵∠DOC=90°，
∴当△CEF与△COD相似，有∠CFE=90°或∠CEF=90°，
当∠CFE=90°时，连接PE并延长交y轴于点H，如图1，

由题意可知l方程为x=-1，∴OD=OE，
∵∠DCO+∠CDO=∠CDO+∠EHO=90°，
∴∠DCO=∠EHO，
在△ODC和△OEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠EHO}\\{∠DOC=∠EOH}\\{DO=EO}\end{array}\right.$
∴△ODC≌△OEH（AAS），
∴OH=OC=3，
∴H坐标为（0，-3），且E（-1，0），
设直线PH解析式为y=kx-3，把E点坐标代入可得-k-3=0，解得k=-3，
∴直线PH解析式为y=-3x-3，
联立抛物线线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∵P点在第二象限，
∴P点坐标为（-2，3）；
当∠CEF=90°时，则PE∥y轴，故P点坐标为抛物线的顶点，可求得P点坐标为（-1，4）；
综上可知当△CEF与△COD相似时点P的坐标为（-2，3）或（-1，4）；
②如图2，连接AD并延长，交抛物线于点P，连接PB，

∵A（1，0），D（0，1），
∴直线AD解析式为y=-x+1，
联立直线AD和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-{x}^{2}-2x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴P（-2，3），且B（0，3），
∴PB∥x轴，
∴∠APB=∠DAO=45°，
∴当∠BAP=45°时，P点坐标为（-2，3）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、函数图象的交点及方程思想等知识．在（1）中注意待定系数示的应用，关键是确定点的坐标，在（2）①中利用相似求得直线PE于y轴的交点坐标是解题的关键，注意方程思想的应用，在（2）②中确定出点P的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．