Question

20．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠ACB=75°，∠BAC=45°，⊙O的半径为$\sqrt{2}$，若点P与点C的距离为1，则△ABP的面积S的取值范围是（　　）

• A． 1≤S≤2+$\sqrt{3}$
• B． 1≤S≤1+$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$-1≤S≤$\sqrt{3}$+1
• D． $\sqrt{3}$+1≤S≤$\sqrt{3}$+2

Answer 1

分析 过C点作CH⊥AB于H，交⊙C于E₁、E₂点，则E点运动到E₁点时S最小，E点运动到E₂点时S最大，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH=CH=$\sqrt{3}$，∠ACH=45°，
再由∠ACB=75°得∠BCH=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得BH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CH=1，AB=$\sqrt{3}$+1，则HE₁=$\sqrt{3}$-1，HE₂=$\sqrt{3}$+1，然后根据三角形面积公式即可解决问题．

解答 解：以C为圆心1为半径作⊙C，过C点作CH⊥AB于H，交⊙C于E₁、E₂点，则E点运动到E₁点时S最小，E点运动到E₂点时S最大，连接OC、OB
∵∠BAC=45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，∠BOC=90°，
BC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
在Rt△BHC中，∵∠CHB=90°，∠B=180°-∠BAC-∠ACB=60°，
∴∠BCH=30°，
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=1，CH=AH=$\sqrt{3}$，AB=1+$\sqrt{3}$，
∵HE₁=CH-CE₁=$\sqrt{3}$-1，HE₂=CH+CE₂=$\sqrt{3}$+1，
∴△ABE₁的面积=$\frac{1}{2}$×（ $\sqrt{3}$-1）×（ $\sqrt{3}$+1）=1，△ABE₂的面积=$\frac{1}{2}$×（ $\sqrt{3}$+1）×（ $\sqrt{3}$+1）=2+$\sqrt{3}$，
∴1≤S≤2+$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练运用圆的有关性质进行几何计算；含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系要记住．