【题目】定义:若一个三角形中,其中有一个内角是另外一个内角的一半,则这样的三角形叫做“半角三角形”. 例如:等腰直角三角形就是“半角三角形”.在钝角三角形中,,,,过点的直线交边于点.点在直线上,且.
(1)若,点在延长线上.
① 当,点恰好为中点时,依据题意补全图1.请写出图中的一个“半角三角形”:_______;
② 如图2,若,图中是否存在“半角三角形”(△除外),若存在,请写出图中的“半角三角形”,并证明;若不存在,请说明理由;
(2)如图3,若,保持的度数与(1)中②的结论相同,请直接写出,, 满足的数量关系:______.
【答案】(1)① 如图,见解析;△或△或△或△; ②存在,“半角三角形”为△;证明见解析;(2)或.
【解析】
(1)①根据题干描述作出图形即可,利用等腰三角形的性质,根据“一个内角是另外一个内角的一半”的三角形符合题意,可得出结果.②延长到,使得,连接,构造全等三角形△≌△.再利用全等三角形的性质以及相关角度的转化,可求得,从而可得出结果.
(2)由(1)中②可知,,延长到点,使得,连接BF,构造全等三角形△≌△,进而可得出.因为,所以以为圆心,长为半径作圆与直线一定有两个交点,当第一种情况成立时,必定存在一个与它互补的,所以可得出另外一种情况.
(1)① 如图,
图中的一个 “半角三角形”:△或△或△或△;
② 存在,“半角三角形”为△.
延长到,使得,连接.
∵,
∴ .
∴ .
∵,
∴.
∴.
在△和△中,
∴ △≌△.
∴ ,.
∵ ,
∴ .
∴.
∴∠BAE=2∠BEA,
∴△ 为“半角三角形”.
(2)或.
解:①延长到点,使得,连接BF,
∵,,
∴△≌△.
过点分别作于点,
于点,
可得.
∴.
②因为,所以以为圆心,长为半径作圆与直线一定有两个交点,当第一种情况成立时,必定存在一个与它互补的.
可知:
综上所述,这三个角之间的关系有两种,
或.
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【题目】在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月份的5000元/m2下降到5月份的4050元/m2.
(1)问4、5两月平均每月降价的百分率是多少?
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破3000元/m2?请说明理由.
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【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为的网格中,点、、均落在格点上.
(1)的面积等于________;
若四边形是中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明)________.
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【题目】如图所示,是瑞安部分街道示意图,,,,,,,,,,为“公交汽车”停靠点,甲公共汽车从站出发,按照,,,,,,的顺序到达站,乙公共汽车从站出发,按照,,,,,,的顺序到达站,如果甲、乙两车分别从、两站同时出发,各站耽误的时间相同,两辆车速度也一样,则( )
A. 甲车先到达指定站 B. 乙车先到达指定站
C. 同时到达指定站 D. 无法确定
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【题目】如图,在Rt直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,则下列结论:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是_______________.
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【题目】如图,点P、M、N分别在等边△ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PV⊥AC于点N,若AB=12cm,求CM的长为______cm.
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【题目】八班组织了一次经典朗读比赛,甲、乙两队各人的比赛成绩如下表(分制):
甲 | ||||||||||
乙 |
①甲队成绩的中位数是________分,乙队成绩的众数是________分;
②计算乙队的平均成绩和方差.
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