Question

已知：在直角坐标系中，A、B两点是抛物线y=x²-（m-3）x-m与x轴的交点（A在B的右侧），x₁、x₂分别是A、B两点的横坐标，且|x₁-x₂|=3．
（1）当m＞0时，求抛物线的解析式．
（2）如果（1）中所求的抛物线与y轴交于点C，问y轴上是否存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）一次函数y=kx+b的图象经过抛物线的顶点，且当k＞0时，图象与两坐标轴所围成的面积是，求一次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）x²-（m-3）x-m=0，
x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，
∵|x₁-x₂|=3，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9，
∴（m-3）²+4m=9，
∵m＞0，
∴m=2，
∴y=x²+x-2=0．
答：当m＞0时，抛物线的解析式是y=x²+x-2．

（2）x²+x-2=0，
x₁=-2，x₂=1，
∴A（1，0），
即OA=1，
把x=0代入得：y=-2，
∴OC=2，
∵以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，
∠AOC=∠AOD，
∴=或=，
代入求出OD=OC=2，或OD=，
∴D的坐标是（0，2）或（0，）．
答：存在点D（不含与C重合的点），使得以D、O、A为顶点的三角形与△AOC相似，D点的坐标是（0，2）或（0，）．

（3）当x=0时，y=b，
当y=0时，x=-，
∴|b•（-）|=，①
y=x²+x-2=-，
∴顶点坐标是（-，-），
代入y=kx+b得：-=-k+b ②，
由①②组成方程组，解方程组得：，，
∴y=7.9x+3.7，y=2.7x+1.1．
答：一次函数的解析式是y=7.9x+3.7或y=2.7x+1.1．
分析：（1）根据根与系数的关系得到（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=9，x₁+x₂=m-3，x₁•x₂=-m，代入求出即可；
（2）求出A、C的坐标，求出OA、OC，根据相似三角形的性质得出=或=，代入求出即可；
（3）求出直线与X、Y轴的交点坐标，根据三角形的面积公式得到|b•（-）|=，求出顶点坐标代入解析式得到方程，两方程组成方程组，求出方程组的解即可．
点评：本题主要考查对相似三角形的性质和判定，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．