Question

15．如图，正方形ABCD中，连接BD，在DC上取一点E，在BD上取一点F，使得∠BEC=∠DEF，过点F作FG⊥BE于H，交BC于G，若DE=5$\sqrt{6}$，GC=7，则CE=5$\sqrt{6}$-7．

Answer 1

分析 如图，延长EF交AB于M，延长GF交AD于P，作EN⊥AB于N，GJ⊥AD于K，先证明△BCE≌△GKH，得EC=PK，再证明BN=MN=EC，设EC=x，则BG=5$\sqrt{6}$+x-7，PD=x+7，BM=2x，根据$\frac{ED}{BM}$=$\frac{DF}{FB}$=$\frac{DP}{BG}$，列出方程即可解决．

解答 解：如图，延长EF交AB于M，延长GF交AD于P，作EN⊥AB于N，GJ⊥AD于K．则四边形CDKG、四边形NCEN都是矩形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=GK，∠C=∠ADC=∠GKP=90°，AD∥BC，AB∥DC，
∴∠GPK=∠BGP，
∵PG⊥BE，
∴∠BGP+∠CBE=90°，∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠GHK，
在△BCE和△KGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠GPK}\\{∠C=∠GKP}\\{BC=GK}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△GKP，
∴EC=PK，
∵∠DEM=∠BEC，∠DEM=∠BME，∠BEC=∠EBM，
∴∠EMB=∠EBM，
∴EM=EB，
∵EN⊥BM，
∴BN=MN=EC，
设EC=x，则BG=5$\sqrt{6}$+x-7，PD=x+7，BM=2x，
∵$\frac{ED}{BM}$=$\frac{DF}{FB}$=$\frac{DP}{BG}$，
∴$\frac{5\sqrt{6}}{2x}$=$\frac{x+7}{5\sqrt{6}+x-7}$，
整理得到：2x²+（14-5$\sqrt{6}$）x+35$\sqrt{6}$-150=0．
∴（2x+5$\sqrt{6}$）（x+7-5$\sqrt{6}$）=0，
∴x=-$\frac{5\sqrt{6}}{2}$（舍弃）或5$\sqrt{6}$-7．
∴CE=5$\sqrt{6}$-7．
故答案为5$\sqrt{6}$-7．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，把问题转化为方程解决，题目有难度，学会利用十字相乘法解方程，属于中考常考题型．