Question

3．如图，在Rt△ABC中，以AB为直径的⊙O交斜边BC于E，过E作⊙O的切线交边AC于点D．
（1）求证：ED平分线段AC；
（2）猜想CA²，CE，CB三者之间的数量关系，并说明理由；
（3）当cosC取何值时，$\widehat{AE}$=$\widehat{EB}$？

Answer 1

分析 （1）连结OE，如图，先证明AC为⊙O的切线，根据切线长定理得到DE=DA，根据切线的性质得∠OED=90°，则∠1+∠2=90°，加上∠2=∠B，∠B+∠C=90°，所以∠1=∠B，得到CD=DE，于是CD=AD；
（2）连结AE，如图，根据圆周角定理得到∠AEB=90°，于是可证明Rt△CAE∽Rt△CBA，然后根据相似比即可得到CA²=CE•CB；
（3）当$\widehat{AE}$=$\widehat{EB}$时，根据圆周角定理可得∠B=∠BAE=45°，所以cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）证明：连结OE，如图，
∵∠BAC=90°，AB为直径，
∴AC为⊙O的切线，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE=DA，OE⊥DE，
∴∠OED=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵OB=OE，
∴∠2=∠B，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠1=∠B，
∴CD=DE，
∴CD=AD，
∴ED平分线段AC；
（2）解：CA²=CE•CB．理由如下：
连结AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴$\frac{CA}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$，
∴CA²=CE•CB；
（3）解：当$\widehat{AE}$=$\widehat{EB}$时，∠B=∠BAE，
∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴cosB=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了相似三角形的判定与性质．