Question

如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2．

（1）求A点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（1，0）（2）ｙ＝2ｘ－4ｘ－6  （3）存在

试题分析：【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G
∵AH∥EF∥DG，AD∥GH
∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形
∴FH＝AE，FG＝DE
∵AE＝DE
∴FG＝FH
∵AB∥DG
∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B
∴△CFG≌△BFH
∴FC＝FB     4分
【知识应用】过点C作CM⊥ｘ轴于点M，过点A作AN⊥ｘ轴于点N，过点B作BP⊥ｘ轴于点P
则点P的坐标为（ｘ，0），点N的坐标为（ｘ，0）
由探究的结论可知，MN＝MP
∴点M的坐标为（，0）
∴点C的横坐标为
同理可求点C的纵坐标为
∴点C的坐标为（，）    8分
【知识拓展】
当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（ａ，0），点D的坐标为（0，ｙ）
由上面的结论可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ
∴ａ＝10，ｂ＝－6
∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6）
同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的负半轴时
求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6）
当AB是对角线时
点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4） 14
点评：本题考查抛物线的知识，要求考生会用待定系数法求抛物线的解析式，掌握抛物线的性质