Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=

1

2

AB；
（3）点M是

AB

的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．

Answer 1

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径．
∴PC是⊙O的切线．（3分）

（2）证明：∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．
又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，
∴∠COB=∠CBO，
∴BC=OC．
∴BC=

1

2

AB．（6分）

（3）连接MA，MB，
∵点M是

AB

的中点，
∴

AM

=

BM

，
∴∠ACM=∠BCM．
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM．
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB．
∴

BM

MC

=

MN

BM

．
∴BM²=MN•MC．
又∵AB是⊙O的直径，

AM

=

BM

，
∴∠AMB=90°，AM=BM．
∵AB=4，
∴BM=2

2

．
∴MN•MC=BM²=8．（10分）